골드바흐 추측

수학적 발견의 원동력은 상상력에서 온다

'수학 난제' 라는 말을 들으면 어떤 문제가 먼저 떠오르나요? 대부분 페르마의 마지막 정리 혹은 리만 가설을 떠올릴 거예요. 하지만 이 두 문제와 함께 20세기 수학의 최고 난제라 불리는 문제가 있어요. 바로 '골드바흐 추측'이에요. 이 문제는 1742년 오일러와 골드바흐의 대화에서 등장한 이후로 아직 증명이 되지 않고 있어요.

 

골드바흐 추측은 '약한 추측'과 '강한 추측'으로 나뉘어요. 둘은 강한 추측이 참이면 약한 추측도 참이되는 관계죠. 먼저 약한 추측부터 살펴볼게요. 

5보다 큰 모든 정수는 세 개의 소수의 합으로 표현 가능하다.

생각보다 난제가 쉬워서 당황할 수 있어요. 얼핏 들으면 저게 참인가 싶기도 하고요. 하지만 수를 하나씩 대입하다 보면 맞다는 생각이 들어요. 그러나 약한 추측답게 차차 증명이 진행되기 시작했어요.

 

1937년, 러시아의 수학자 이반 마트베예비치 비노그라도프(Ivan Matveyevich Vinogradov)는 이 추측이 충분히 큰 수 이상에서 성립함을 증명했어요. 여기서의 큰 수는 3^(3^15)이라는 아주 큰 수였죠. 이어서 2013년, 엘프고트(H. A. Helfgott)라는 수학자 비노그라도프의 증명의 범위를 10^30 이상으로 확장시켰어요. 그러고 10^30까지는 컴퓨터를 통해 직접 대입해보면서 약한 추측이 참이라는 걸 증명해냈죠. 

 

그렇다면 본격적으로 강한 추측에 대해서 알아볼게요.

2보다 큰 모든 짝수는 두 개의 소수의 합으로 표시할 수 있다. 이때, 한 소수를 두 번 사용하는 것은 허용한다. 

 

약한 추측보다 더 간단한 추측이네요. 하지만 증명하기란 더 쉽지 않아요. 거의 300년이 되도록 여러 수학자들이 도전했지만, 겉보기와 다른 모습에 다들 쓴맛을 봤죠. 소수의 생성원리도 완벽히 모르는 인류에겐 아직 어려운 문제일 수 있어요. 수학 난제들을 보면 소수가 참 많이 등장하는 것 같아요. 소수라는 게 참 신기하기도 하고요.

 

시뮬레이션 우주론에 대해 들어본 적 있나요? 우리가 사는 우주가 거대한 시뮬레이션이라는 이론이에요. 우스갯소리로 소수에 대한 가설인 리만 가설이 증명되는 순간 시뮬레이션은 종료된다는 이야기도 있어요. 물론 근거는 아주 빈약해요. 하지만 이런 자연에서 보이는 우연들은 우연이라기에는 너무 신기하죠.

 

골드바흐 추측에서도 이런 신기함을 엿볼 수 있어요. 두 소수의 합으로 표현하는 가짓수를 골드바흐의 수라고 해요. 예를 들어 4 = 2 + 2이므로 1가지, 10 = 7 + 3 = 5 + 5 니깐 2가지죠. 이렇게 모든 골드바흐의 수를 그래프로 나타내면  다음과 같은  그림이 나와요. 

골드바흐 수를 그래프로 나타낸 것 (출처: https://oeis.org/A002375/graph)

밤하늘을 수놓는 혜성과 닮지 않았나요? 수학은 한 단계 높은 세상으로 가는 열쇠일지 몰라요. 수학이 주는 아름다움은 어디서 왔을지 정말 궁금하네요. 저마다의 아름다움에는 다 이유가 있을테니까요:)