1 + 1 = 2의 증명

사소한 행복이 삶을 아름답게 만든다

1+1=2라는 사실은 명백해요. 그런데 그 이유에 대해 생각해본 적이 있나요? 그 이유를 ‘페아노 공리계’를 이용하여 증명해보도록 할게요.

1 + 1 = 2이다.

수학에서는 따로 정의하지 않는 대상(무정의 용어)들과 그 대상들 사이에 성립하는 기본관계(공리)를 두고 논리를 전개해요. 이렇게 구성되는 체계를 공리계라고 하죠. 페아노 공리계는 자연수의 체계를 묘사하는 공리계예요. 페아노 공리계는 다음과 같은 다섯 개의 공리로 이루어져있어요.
 
▶1은 자연수이다.
▶모든 자연수 n은 그 다음 수 n'을 갖는다.
▶n'=1 인 자연수 n은 없다.
▶m'=n'이면 m=n이다.
▶P(1)이 참이고 모든 자연수 k에 대해 P(k) 가 참일 때 P(k')이 참이면 P는 모든 자연수에 대해 참이다.
 
첫번째 공리에서는 1을 자연수라고 약속했어요. 다만 그 1이 몇 번째 수인지도, 무슨 의미를 갖는지도 전혀 모르죠. 두 번째 공리에서는 n이 자연수라면, 다음 수인 n'도 자연수라고 정의했어요. 1다음 수는 1', 그 다음 수는 1'',1''',1'''', 이런 식으로요.

세 번째 공리는 1에 첫번째 자연수라는 의미를 부여해줘요. 1 이전의 자연수는 없다는 뜻이죠. 네 번째 공리는 모든 자연수는 하나의 값을 가진다는 걸 나타내요. 이미 수에 익숙해진 우리는 이게 왜 필요한가 싶을 수 있어요. “주민번호가 같은 사람은 없다.”를 예시로 들 수 있겠네요.
 
마지막 공리는 수학적 귀납법으로도 유명하죠. 이 명제가 필요한 이유는 자연수 집합 내에 엉뚱한 값이 있을 수도 있기 때문이에요. 1->1'->1''-> 이렇게 진행되는 수열에서 생뚱맞게 a라는 값이 있으면 안 되잖아요? 이 명제는 이걸 해결해주죠.
 
자연수의 체계에 대해 정의했으니 이젠 더하기를 정의해야 해요. 덧셈은 다음과 같이 정의해요.
 
① 모든 자연수 n에 대하여 n+0=n이다.
② 모든 자연수 n, m에 대하여 n+m′=(n+m)′이다.
 (※여기서 0은 숫자 0이 아닌 항등원이에요. 항등원은 더했을 때 자기 자신이 되게 하는 수를 말해요)

현대 수학자들은 계산의 편의를 위해 페아노 공리계의 시작을 0으로 변형시켰어요. 공리는 절대적 진리가 아닌 상호간의 약속이기 때문이죠. 그리고 0 다음 수를 1, 그 다음 수를 2라고 정의했죠.
 
이제 1+1=2를 증명해보도록 할게요.

1+1=1+0' (∵1의 정의)
=(1+0)' (∵덧셈의 정의 ②)
=1' (∵덧셈의 정의 ①)
=2 (∵2의 정의)

아주 간단한 증명이 완료되었어요.
 
이처럼 수학은 우리 사이의 ‘약속’과도 같아요. 공리계에 따라 값이 변하곤 하죠. 수학이 상대적인 진리를 탐구하는 학문이듯이, 우리 인생도 마찬가지예요. 남들보다 잘 살려고 애쓰고, 남들보다 뒤쳐진다는 것에 불행해해요. 모든 건 상대적이죠. 성공도, 행복도 말이에요. 남들과 비교해서 불행하기보다는 자신만의 소소한 행복을 찾는 건 어떨까요? 상대적 행복이 아닌 절대적 행복을요.